本文作者：辰谙
相信学过乐理的同学们都知道，现在在世界范围内最通行的律制是十二平均律，包括我国在内的众多国家都将十二平均律作为音乐上的最主要的律制来使用。
但是，同西方一样，我国对十二平均律的确立也并不是一蹴而就的，历史上也曾出现过一些别的具有一定影响力的律制。
01
十二律的出现
根据我国秦汉时期的著作《吕氏春秋》的相关记载来推测，可能我国早在黄帝时期就已经有了十二律的概念。
而这十二律的具体名称，正式见于记载则是在另一部著作《国语》中一位春秋时期的乐官的语录中。这十二律分别为黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。
这十二律中的黄钟、太簇、姑洗、林钟、南吕可以与我国古代的五声音阶的宫、商、角、徵、羽的相对应。而我国古代的七声音阶则是在这个基础上再加上变徵和变宫两个音。
另外，在某种意义上，这十二律也是可以对应我们今天的一个八度内的各个音的。
02
三分损益律
作为中国音乐的“乐制之祖”，有关“三分损益律”的记载，最早可见于春秋时期的《管子•地员篇》，这个时候的“三分损益律”是与宫、徵、商、羽、角五音的记载相联系的。
至《吕氏春秋•音律篇》成书之后，“三分损益律”又开始与关于黄钟、林钟等十二律长度的规范相联系。此外，汉代之后历代的《律历制》中也大多都载有关于这种生律法的内容。
我国古代定音是采用十二支不同长度和音高的律管来进行的。我们都知道，在管乐中，气柱越长，音调越低；气柱越短，音调越高。
“三分损益律”就是将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可以求得基音上方的五度音或下方的四度音。
“损一”时，律管原长度与新长度的比例是3：2；“益一”时，律管原长度与新长度的比例是3：4。相应地，“损一”时律管原基准频率与新基准频率的比例是2：3；“益一”时，律管原基准频率与新基准频率的比例是4：3。
在“三分损益律”的生律过程中，“损一”和“益一”是交替进行的，即这种生律法不是一味地“损一”，也不是一味地“益一”，而是将二者在生律过程中均衡地穿插。
以宫、商、角、徵、羽五个正声为例，以宫音为基音，宫音“损一”可得上五度音徵音，徵音“益一”可得下四度音商音，商音“损一”可得上五度音羽音，羽音“益一”可得下四度音角音。
如果要得到一个八度内的十二个音的话，那就需要从基音出发，交替着“损一”5次和“益一”6次，或者交替着“益一”5次和“损一”6次。“先损后益”的十二律生律次序如下图，其中最后一律的准确表达应该是E#音，不能等同于F音：
最后我们可以得到下面这样的一个表格：
03
纯律
纯律是一种最接近自然发音原理的律制。与三分损益律不同的是，我国古代的文献中几乎没有纯律在理论方面的相关记载，但其却在实践方面有着比较充分的运用。
纯律的相关参数如下：
相比三分损益律，纯律的生律要素多了一个纯律大三度（5/4）和纯律小三度（6/5），因此这二者在某些音相同的情况之外，又有着一些不同的音。具体来说就是一、二、四、五级音是相同的，三、六、七级音是不同的。
不同的这几级的音，由于在纯律上是应用了更为简单的比例的，所以按照人的生理声学的观点来看，人们会倾向于感觉纯律更为悦耳。另外从和声学的角度看，在构成和弦时纯律比三分损益律更为和谐而纯正，这也是纯律名称的缘起。
前面我们提到纯律在我国古代的音乐实践中有着充分的运用，而其最突出的就体现在古琴的制式及其演奏上。
在古琴的具体的演奏方式上，有不按弦的散音和按弦的按音。在按音的演奏中，就要用到古琴上的“徽”了。“徽”是古琴上面的一个个白色的点，用来标记音位，作用相当于吉他的“品”。最迟在汉末三国时期，古琴上就开始出现了十三个徽位，其被称作“十三徽”。
在古琴上，“岳山”至“龙龈”的长度即为弦长；将弦长二等分，中间的点即七徽；“岳山”至七徽二等分，中间的点即四徽；“岳山”至四徽二等分，中间的点即一徽；“龙龈”至七徽二等分，中间的点即十徽；“龙龈”至十徽二等分，中间的点即十三徽。
再将弦长三等分，即可得五徽和九徽；“岳山”至五徽二等分，中间的点即二徽；“龙龈”至九徽二等分，中间的点即十二徽；再将弦长五等分，得到三徽、六徽、八徽和十一徽。
可以看出，古琴的十三徽是通过二等分、三等分和五等分求来的。其中，由五等分求得的三徽、六徽、八徽和十一徽对应的音是纯律独有的音。
04
十二平均律
三分损益律和纯律虽然在一定的时期内占据着我国古代音乐的主流律制，但它们都无法完成儒家经典《礼记》中提到的“五声、六律、十二音还相为宫”的叙述。原因在于，在这两种律制下，一个八度音阶内各个相邻音之间的音程不是完全一样的。
这一点，参看我们上文给出的表格中的相关音的音分值就可以看出。那么，我国古人有没有研究出对应的解决方案呢？答案是有的。不过这个解决方案即十二平均律出现的时间相比三分损益律和纯律出现的时间来说都要晚得多。
既然要使得一个八度内的音程平均，那么最直接的办法当然就是将2开12次方。但是，在没有计算机的古代，完成这样的一项运算却不是一件容易的事。
一直到明代，我国著名的律学家朱载堉才计算出了2开12次方的值。他也有极大的可能是世界上第一个算出2开12次方的值的人。
朱载堉一生刻苦求真，呕心沥血，完成了《乐律全书》、《律吕正论》、《律吕质疑辨惑》、《嘉量算经》、《律吕精义》、《律历融通》、《算学新说》、《瑟谱》等。载堉的成就震撼世界，中外学者尊崇他为“东方文艺复兴式的圣人”。
在他之后，我国和西方都各自独立地发展出了十二平均律的理论和实践的内容，直至这套律制成为我们今天音乐界的主流。
